Математический анализ Примеры

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x \cos^{2} (y)$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Этап 1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Этап 1.5

Производная $\cos (y)$ по $y$ равна $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Этап 1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = \tan (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Этап 2.2

Поскольку $\tan (y)$ является константой относительно $x$ , производная $\tan (y)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Этап 4.3

Подставим $x \cos^{2} (y)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x \cos^{2} (y)$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.2

Изменим порядок $2$ и $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.4

Добавим круглые скобки.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.5

Изменим порядок $\cos (y)$ и $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.6

Изменим порядок $\sin (y)$ и $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.2.8

Добавим $0$ и $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $\cos (y)$ и $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Этап 4.3.6

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Этап 4.3.7

Переведем $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Этап 4.3.8

Подставим $x \cos^{2} (y)$ вместо $M$ .

$2 \tan (y)$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\tan (y)$ по $y$ имеет вид $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $2 \ln (| \sec (y) |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| \sec (y) |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x \cos^{2} (y)$ на $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.2

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (y)$ из $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.5

Единица в любой степени равна единице.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $\tan (y)$ на $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 11.3

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Этап 12

Найдем первообразную $\tan (y) \sec^{2} (y)$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Этап 12.3

Пусть $u = \sec (y)$ . Тогда $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , следовательно $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Пусть $u = \sec (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Дифференцируем $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Этап 12.3.1.2

Производная $\sec (y)$ по $y$ равна $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Этап 12.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Этап 12.4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 12.5

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Этап 14.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$