Математический анализ Примеры

$(1 + 2 y) d x + (4 - x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + 2 y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(4 - x^{2}) d y = - (1 + 2 y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $1 + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ в числитель.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $1 + 2 y$ из $(4 - x^{2}) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{4 - x^{2}} d x$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{2^{2} - x^{2}} d x$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + 2 y$ . Тогда $d u_{1} = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + 2 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 4.2.1.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Этап 4.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Этап 4.3.2.1.2

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.1.2

Разделим $(A) (2 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5.2

Разделим $(B) (2 + x)$ на $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Этап 4.3.2.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Этап 4.3.2.1.6.7

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Этап 4.3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.3

Перенесем $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Этап 4.3.2.1.7.4

Перенесем $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.3.1.2

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.3.1.3

Добавим $A$ к обеим частям уравнения.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 4.3.2.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = 2 A + 2 B$ на $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Добавим $2 A$ и $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.3.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.3.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 4.3.2.3.4

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = A$ на $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 4.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 4.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 4.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.3.2.5.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2 - x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Этап 4.3.5

Пусть $u_{2} = 2 + x$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u_{2} = 2 + x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Этап 4.3.5.1.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x)$

Этап 4.3.8

Пусть $u_{3} = 2 - x$ . Тогда $d u_{3} = - d x$ , следовательно $- d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u_{3} = 2 - x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Этап 4.3.11

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Этап 4.3.12

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Этап 4.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Этап 4.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4}) + C_{4}$

Этап 4.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.14.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 2 + x |) - \ln (| 2 - x |)}{4} + C_{4}$

Этап 4.3.14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C_{4}$

Этап 4.3.15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2}$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + 4 C}{2}$

Этап 5.2.2.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) + 4 C}{2}$

Этап 5.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)}{2}$

Этап 5.2.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.4.1

Перепишем $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ в виде $- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} = | 1 + 2 y |$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Этап 5.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Этап 5.5.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} - 1$

Этап 5.5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Разобьем дробь $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ на две дроби.

$2 y = \pm e^{- (\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2} + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$2 y = \pm e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$2 y = \pm e^{- (\ln ({(\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.3

Применим правило умножения к $\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 C$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 (1)})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 \cdot 1})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{1})} - 1$

Этап 5.5.3.2.2.4.2.4

Разделим $- 2 C$ на $1$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - 2 C)} - 1$

Этап 5.5.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - (- 2 C)} - 1$

Этап 5.5.3.2.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1}{2}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C} - 1}{2}$

Этап 6.2

Перепишем $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C}$ в виде $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C} - 1}{2}$

Этап 6.3

Изменим порядок $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$

Этап 6.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$