Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.4

Объединим $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Этап 2.2.2

Пусть $u = (x + 1) x$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = (x + 1) x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2.2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2.2.1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Этап 2.2.2.1.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x + 1 + x$

Этап 2.2.2.1.3.6.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$(x + 1) x$

Этап 2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + 1 x$

Этап 2.6

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Этап 2.7

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.3

Умножим $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5

Умножим $x^{2} + x$ на $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.6.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.7.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.8

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.8.2

Разделим $(2 x + 1) y$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.10

Умножим $y$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x^{2} + x$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Этап 3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Этап 3.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Этап 3.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Этап 3.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} + x - x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Этап 3.4.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Этап 7.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Этап 7.4

Упростим.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Этап 8

Разделим каждый член $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ на $x^{2} + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ на $x^{2} + x$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.4

Объединим.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} \cdot 1$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 (x (x + 1))$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.7.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.8.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Этап 8.3.1.10

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Этап 8.3.1.10.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Этап 8.3.1.10.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Этап 8.3.1.10.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Этап 8.3.6

Чтобы записать $\frac{C}{x (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Умножим $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3.7.2

Умножим $\frac{C}{x (x + 1)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Этап 8.3.7.3

Изменим порядок множителей в $3 (x + 1) x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Этап 8.3.7.4

Изменим порядок множителей в $x (x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Этап 8.3.9.3

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$