Математический анализ Примеры

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y + 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x + 2 = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 x + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x y + 2 y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x y + 2 y$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $- (- 2 x - 2)$ из $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $- x - 1$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5.4

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Этап 4.3.5.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $2 x y + 2 y$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y + 2 y$ на $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x y + 2 y$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $2 (x + 1)$ на $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- y$ на $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.8

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.8.2

Сократим общий множитель.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.8.3

Перепишем это выражение.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Этап 11.3

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Этап 12

Найдем первообразную $2 x + 2$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Этап 12.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Этап 12.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Этап 12.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Этап 12.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Этап 12.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Этап 12.8

Упростим.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$