Математический анализ Примеры

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (1 + 2 x \tan (y))$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 + 2 x \tan (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Этап 2.6

Поскольку $2 \tan (y)$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \tan (y)$ по $x$ равна $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 \tan (y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = - 2 \tan (y)$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 \tan (y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Этап 4.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Этап 4.3.2

Разделим $- 2 \tan (y) + 0$ на $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Этап 4.3.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

$- 2 \tan (y)$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\tan (y)$ по $y$ имеет вид $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| \sec (y) |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Этап 5.4.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Этап 5.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Этап 5.4.6

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Этап 5.4.7

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Этап 5.4.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Этап 5.4.9

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Этап 6

Умножим $1$ на $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\cos^{2} (y) x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\cos^{2} (y) x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3.3

Производная $\cos (y)$ по $y$ равна $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $2 x \cos (y) \sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ и $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ и $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Этап 12.1.2.3

Добавим $- \cos^{2} (y)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Этап 13

Найдем первообразную $- \cos^{2} (y)$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Этап 13.4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (y)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Этап 13.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Этап 13.6

Избавимся от скобок.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Этап 13.7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Этап 13.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Этап 13.9

Пусть $u = 2 y$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Пусть $u = 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 13.9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 13.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 13.10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 13.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 13.12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 13.13

Упростим.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 13.14

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Этап 13.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Этап 13.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Этап 13.15.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Этап 13.15.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.15.4.1

Умножим $\frac{\sin (2 y)}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 13.15.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Этап 13.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.16.1

Изменим порядок членов.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Этап 13.16.2

Избавимся от скобок.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Этап 13.16.3

Избавимся от скобок.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\sin (2 y)$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$