Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{x (7 y)}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{x (7 y)}{x \cdot x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{x (7 y)}{x \cdot x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{7 y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{7 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{7 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{y}{x} \cdot 7 + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $7$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y^{2}}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{2 y}{x}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{2 y}{x} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 2 \frac{y}{x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + 2 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot V + 2 \cdot V \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 \cdot V + 2 \cdot V \cdot V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перенесем $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 \cdot (V \cdot V)$

Этап 6.1.1.1.2

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 \cdot V^{2}$

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 V^{2}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = 4 + 7 V + 2 V^{2} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Вычтем $V$ из $7 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V^{2} + 6 V}{x}$

Этап 6.1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 + 2 V^{2} + 6 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot 2 + 2 V^{2} + 6 V}{x}$

Этап 6.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot 2 + 2 V^{2} + 2 (3 V)}{x}$

Этап 6.1.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot (2 + V^{2}) + 2 (3 V)}{x}$

Этап 6.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot (2 + V^{2}) + 2 (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot (2 + V^{2} + 3 V)}{x}$

Этап 6.1.2.3.1.5

Умножим $2$ на $2 + V^{2} + 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + V^{2} + 3 V)}{x}$

Этап 6.1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.2.1

Разложим $2 + V^{2} + 3 V$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 6.1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 ((V + 1) (V + 2))}{x}$

Этап 6.1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (V + 1) (V + 2)}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{(V + 1) (V + 2)}$ .

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{2 (V + 1) (V + 2)}{x}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $(V + 1) (V + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $(V + 1) (V + 2)$ из $2 (V + 1) (V + 2)$ .

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{(V + 1) (V + 2) (2)}{x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{(V + 1) (V + 2) \cdot 2}{x}$

Этап 6.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} d V = \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.2

$\frac{A}{V + 1} + \frac{B}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(V + 1) (V + 2)$ .

$\frac{1 (V + 1) (V + 2)}{(V + 1) (V + 2)} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V + 1) (V + 2)}{(V + 1) (V + 2)} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (V + 2)}{V + 2} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $V + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V + 2)}{V + 2} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (V + 2)$ на $1$ .

$1 = (A) (V + 2) + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A V + A \cdot 2 + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = A V + 2 \cdot A + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $V + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A V + 2 A + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B) (V + 1)$ на $1$ .

$1 = A V + 2 A + (B) (V + 1)$

Этап 6.2.2.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A V + 2 A + B V + B \cdot 1$

Этап 6.2.2.1.1.6.6

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A V + 2 A + B V + B$

Этап 6.2.2.1.1.7

Перенесем $2 A$ .

$1 = A V + B V + 2 A + B$

Этап 6.2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $V$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 6.2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $V$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + B$

Этап 6.2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Этап 6.2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Этап 6.2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Этап 6.2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 2 A + B$ на $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.2.1

Упростим $2 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.2.2.1.2

Добавим $- 2 B$ и $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.3.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Этап 6.2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 6.2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Этап 6.2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = - 1$

Этап 6.2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{V + 1} + \frac{B}{V + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{V + 1} + \frac{- 1}{V + 2}$

Этап 6.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{V + 1} - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{V + 1} d V + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Пусть $u_{1} = V + 1$ . Тогда $d u_{1} = d V$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Пусть $u_{1} = V + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.1

Дифференцируем $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $V + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Пусть $u_{2} = V + 2$ . Тогда $d u_{2} = d V$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Пусть $u_{2} = V + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1.1

Дифференцируем $V + 2$ .

$\frac{d}{d V} [V + 2]$

Этап 6.2.2.6.1.2

По правилу суммы производная $V + 2$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [2]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [2]$

Этап 6.2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [2]$

Этап 6.2.2.6.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $V$ , производная $2$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Упростим.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.10.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.10.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $V + 2$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - 2 \ln (| x |) = C$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 6.3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - \ln (x^{2}) = C$

Этап 6.3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}}{x^{2}}) = C$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = C$

Этап 6.3.2.1.4

Объединим.

$\ln (\frac{| V + 1 | \cdot 1}{| V + 2 | x^{2}}) = C$

Этап 6.3.2.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Умножим $| V + 1 |$ на $1$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 | x^{2}}) = C$

Этап 6.3.2.1.5.2

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 | x^{2}})$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}) = C$

Этап 6.3.3

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |})} = e^{C}$

Этап 6.3.4

Перепишем $\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}$

Этап 6.3.5

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} = e^{C}$

Этап 6.3.5.2

Умножим обе части на $x^{2} | V + 2 |$ .

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} (x^{2} | V + 2 |) = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Этап 6.3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} | V + 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} (x^{2} | V + 2 |) = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Этап 6.3.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| V + 1 | = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Этап 6.3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} x^{2} | V + 2 |$ .

$| V + 1 | = x^{2} e^{C} | V + 2 |$

Этап 6.3.5.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ .

$x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$

Этап 6.3.5.4.2

Разделим каждый член $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ на $x^{2} e^{C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.1

Разделим каждый член $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ на $x^{2} e^{C}$ .

$\frac{x^{2} e^{C} | V + 2 |}{x^{2} e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{C} | V + 2 |}{x^{2} e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{C} | V + 2 |}{e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.2.2.2

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C} | V + 2 |}{e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.2.2.2.2

Разделим $| V + 2 |$ на $1$ .

$| V + 2 | = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$- (V + 2) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$- (V + 2) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.5

Решим $V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.1

Умножим обе части на $x^{2} e^{C}$ .

$(V + 2) (x^{2} e^{C}) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.2.1.1

Упростим $(V + 2) (x^{2} e^{C})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V (x^{2} e^{C}) + 2 (x^{2} e^{C}) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.5.2.1.1.2

Изменим порядок $V$ и $x^{2}$ .

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = V + 1$

Этап 6.3.5.4.5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} - V = 1$

Этап 6.3.5.4.5.3.2

Вычтем $2 x^{2} e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} V e^{C} - V = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.5.3.3

Вынесем множитель $V$ из $x^{2} V e^{C} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $V$ из $x^{2} V e^{C}$ .

$V (x^{2} e^{C}) - V = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$V (x^{2} e^{C}) + V \cdot - 1 = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V (x^{2} e^{C}) + V \cdot - 1$ .

$V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.5.3.4

Разделим каждый член $V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$ на $x^{2} e^{C} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$ на $x^{2} e^{C} - 1$ .

$\frac{V (x^{2} e^{C} - 1)}{x^{2} e^{C} - 1} = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Этап 6.3.5.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} e^{C} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (x^{2} e^{C} - 1)}{x^{2} e^{C} - 1} = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Этап 6.3.5.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Этап 6.3.5.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Этап 6.3.5.4.6

Решим $V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.1

Умножим обе части на $x^{2} e^{C}$ .

$(V + 2) (x^{2} e^{C}) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.1.1

Упростим $(V + 2) (x^{2} e^{C})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V (x^{2} e^{C}) + 2 (x^{2} e^{C}) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.6.2.1.1.2

Изменим порядок $V$ и $x^{2}$ .

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ в числитель.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{- (V + 1)}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{- (V + 1)}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - (V + 1)$

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - V - 1 \cdot 1$

Этап 6.3.5.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - V - 1$

Этап 6.3.5.4.6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.1

Добавим $V$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} + V = - 1$

Этап 6.3.5.4.6.3.2

Вычтем $2 x^{2} e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} V e^{C} + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.6.3.3

Вынесем множитель $V$ из $x^{2} V e^{C} + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $V$ из $x^{2} V e^{C}$ .

$V (x^{2} e^{C}) + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.6.3.3.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$V (x^{2} e^{C}) + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$V (x^{2} e^{C}) + V \cdot 1 = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $V$ из $V (x^{2} e^{C}) + V \cdot 1$ .

$V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4

Разделим каждый член $V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$ на $x^{2} e^{C} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$ на $x^{2} e^{C} + 1$ .

$\frac{V (x^{2} e^{C} + 1)}{x^{2} e^{C} + 1} = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} e^{C} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (x^{2} e^{C} + 1)}{x^{2} e^{C} + 1} = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \frac{- 1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$V = \frac{- 1 (1) - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2} e^{C}$ .

$V = \frac{- 1 (1) - (2 x^{2} e^{C})}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 x^{2} e^{C})$ .

$V = \frac{- 1 (1 + 2 x^{2} e^{C})}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.3.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.7

Перечислим все решения.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}, - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

Этап 8.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$

Этап 8.3

Разделим каждый член $y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$ на $x^{2} C - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$ на $x^{2} C - 1$ .

$\frac{y (x^{2} C - 1)}{x^{2} C - 1} = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} C - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{2} C - 1)}{x^{2} C - 1} = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Этап 8.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.2

$y (x^{2} C + 1) = x (- (1 + 2 x^{2} C))$

Этап 9.3

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 \cdot 1 - (2 x^{2} C))$

Этап 9.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - (2 x^{2} C))$

Этап 9.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$

Этап 9.3.2

Разделим каждый член $y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$ на $x^{2} C + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Разделим каждый член $y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$ на $x^{2} C + 1$ .

$\frac{y (x^{2} C + 1)}{x^{2} C + 1} = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} C + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{2} C + 1)}{x^{2} C + 1} = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{x (- 1 (1) - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2} C$ .

$y = \frac{x (- 1 (1) - (2 x^{2} C))}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 x^{2} C)$ .

$y = \frac{x (- 1 (1 + 2 x^{2} C))}{x^{2} C + 1}$

Этап 9.3.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x (1 + 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}, y = - \frac{x (1 + 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$