Математический анализ Примеры

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- \frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- \frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Этап 4.3

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Этап 4.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 4.3.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{1}{y}$

Этап 4.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.2

Объединим.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $y^{3} - \ln (x)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y^{3} - \ln (x)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{y}$ и $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 11

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 12.1.2.2

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 12.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 12.1.2.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 12.1.3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Этап 12.1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 12.1.3.2.2

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 12.1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 12.1.3.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Этап 12.1.3.4

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Этап 12.1.4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- \frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Этап 12.1.4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ не является тождеством.

Этап 12.1.5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

Подставим $- \frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 12.1.5.2

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Этап 12.1.5.3

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.3.1

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Этап 12.1.5.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Этап 12.1.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 12.1.5.3.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 12.1.5.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 12.1.5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{1}{y}$

Этап 12.1.5.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 12.1.5.3.7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 12.1.5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 12.1.6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 12.1.6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 12.1.6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 12.1.6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 12.1.6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 12.1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 12.1.6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 12.1.6.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 12.1.6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 12.1.7

Умножим обе стороны $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.2

Объединим.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.3

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Этап 12.1.7.4

Умножим $y^{3} - \ln (x)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 12.1.7.5

Умножим $y^{3} - \ln (x)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 12.1.8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Этап 12.1.9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.9.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 12.1.9.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Этап 12.1.9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.9.3.1

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Этап 12.1.9.3.2

Объединим $\frac{1}{y}$ и $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Этап 12.1.10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Этап 12.1.11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1

Упростим $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.1.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.1.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.2.1

Чтобы записать $g y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.2.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.2.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.2.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.4

Умножим $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1.4.1

Умножим $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.4.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.12.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Этап 12.1.13

Каждый член в $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.13.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ на $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Этап 12.1.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.13.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Этап 12.1.13.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Этап 12.1.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.13.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.13.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Этап 12.1.13.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Этап 12.1.14

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Этап 12.1.15

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Этап 12.1.16

Изменим порядок множителей в $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $- g y^{2} + y^{3}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Этап 13.2

Перепишем.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Этап 13.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Этап 13.4

Найдем значение $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Этап 13.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Этап 13.6

Поскольку $- g$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- g$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Этап 13.7

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Этап 13.8

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.10

Упростим.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.11.1

Изменим порядок членов.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.11.2

Избавимся от скобок.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.11.3

Избавимся от скобок.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15.2

Объединим $g$ и $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$