Математический анализ Примеры

$(2 x y + x) d x + (x^{2} + y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x = 2 x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + x d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x y + x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int x d x$

Этап 5.2

Поскольку $2 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int x d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.3.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.4

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = x^{2} + y$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + y$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} + y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + y - x^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Этап 10

Найдем первообразную $y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.2

Чтобы записать $y x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.3

Объединим $y x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.5.1.2

Умножим на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.5.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 + 1)}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.5.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y + 1)}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y + 1) + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1 + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1 + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.7.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y + x^{2} + y^{2}}{2} + C$