Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} d y = \sqrt{y} d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.2

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.3

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6

Перепишем ${\sqrt{x y}}^{2}$ в виде $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3

Умножим $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ и $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x y} \sqrt{x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{x y x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x^{1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x^{1 + 1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.2

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.3

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6

Перепишем ${\sqrt{x y}}^{2}$ в виде $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{y} d x$

Этап 2.7.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y} d x$

Этап 2.8

Умножим $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ и $\sqrt{y}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y} \sqrt{y}}{x y} d x$

Этап 2.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y \cdot y}}{x y} d x$

Этап 2.8.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y)}}{x y} d x$

Этап 2.8.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y^{1})}}{x y} d x$

Этап 2.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{1 + 1}}}{x y} d x$

Этап 2.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{2}}}{x y} d x$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Изменим порядок $x$ и $y^{2}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{y^{2} x}}{x y} d x$

Этап 2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Этап 2.10

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Этап 2.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{\sqrt{y}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2

Разделим дробь на несколько дробей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Этап 3.3.1.2

Разделим дробь на несколько дробей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.3.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3.3.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.3.1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 4.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 4.1.3.1.2

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}$

Этап 4.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 4.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 4.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 4.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перепишем ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Этап 4.3.2.1.2

Развернем $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Этап 4.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Этап 4.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$y = x^{1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.2

Упростим $x^{1}$ .

$y = x + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.3

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.4

Объединим $\frac{K}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1.5.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.3.1.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2}$ и $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x^{\frac{1}{2}}$ и $K$ .

$y = x + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4.4

Упростим $x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $K x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{K^{2}}{4} + K x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.4.2

Изменим порядок $x$ и $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + x + K x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = K + x + K x^{\frac{1}{2}}$