Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

Этап 1

Пусть $v = e^{2 x + y - 1}$ . Подставим $v$ вместо $e^{2 x + y - 1}$ для всех.

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{2 x + y - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x + y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

Этап 2.8

Добавим $2 + y'$ и $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

Этап 5.1.1.2

Объединим противоположные члены в $- 2 + v + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

Этап 5.1.1.2.2

Добавим $v$ и $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Этап 5.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем $v^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $v^{- 2}$ по $v$ имеет вид $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Этап 6.2.3

Перепишем $- v^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{v} = x + K$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v, 1, 1$

Этап 7.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$v$

Этап 7.2

Каждый член в $- \frac{1}{v} = x + K$ умножим на $v$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{v} = x + K$ на $v$ .

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Этап 7.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x v + K v$

Этап 7.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем уравнение в виде $x v + K v = - 1$ .

$x v + K v = - 1$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $v$ из $x v + K v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $x v$ .

$v x + K v = - 1$

Этап 7.3.2.2

Вынесем множитель $v$ из $K v$ .

$v x + v K = - 1$

Этап 7.3.2.3

Вынесем множитель $v$ из $v x + v K$ .

$v (x + K) = - 1$

Этап 7.3.3

Разделим каждый член $v (x + K) = - 1$ на $x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $v (x + K) = - 1$ на $x + K$ .

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Этап 7.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 1}{x + K}$

Этап 7.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{1}{x + K}$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $e^{2 x + y - 1}$ .

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Этап 9.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Развернем $\ln (e^{2 x + y - 1})$ , вынося $2 x + y - 1$ из логарифма.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Этап 9.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Этап 9.2.3

Умножим $2 x + y - 1$ на $1$ .

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

Этап 9.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$