Математический анализ Примеры

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} + \ln (| x |)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 2.3.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Этап 2.3.4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Этап 2.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Этап 2.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Этап 2.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Этап 2.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Этап 2.4.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 2.4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 2.4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{y}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 8

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Этап 9.1.2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 9.1.2.2

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 9.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 9.1.2.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 9.1.3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Этап 9.1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} + \ln (| x |)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Этап 9.1.3.2.2

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Этап 9.1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 9.1.3.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 9.1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 9.1.3.3.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Этап 9.1.3.3.3

Умножим $\frac{1}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Этап 9.1.3.3.4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Этап 9.1.3.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Этап 9.1.3.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Этап 9.1.3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Этап 9.1.3.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Этап 9.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.4.1

Добавим $0$ и $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Этап 9.1.3.4.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Этап 9.1.3.4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Этап 9.1.3.4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 9.1.3.4.3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 9.1.3.4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 9.1.3.4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Этап 9.1.4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 9.1.4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ является тождеством.

Этап 9.1.5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Этап 9.1.6

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{y}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Этап 9.1.6.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Этап 9.1.6.3

Упростим.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Этап 9.1.7

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Этап 9.1.8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1

Упростим $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (| x |) + g y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.3.2

Вынесем множитель $y$ из $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.9.1.4.2

Разделим $\ln (| x |) + g$ на $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Этап 9.1.10

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Этап 9.1.11

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Этап 9.1.12

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Этап 9.1.12.2

Перепишем это выражение.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Этап 9.1.13

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Этап 10

Найдем первообразную $- g + y^{2}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Этап 10.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Этап 10.5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 10.6

Упростим.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$