Математический анализ Примеры

$2 x^{2} - 3 \frac{d y}{d x} = 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (- \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} d x + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + K$