Математический анализ Примеры

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.4.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Этап 3.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Этап 3.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Этап 3.8.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Этап 3.8.3

Вынесем множитель $y$ из $y + y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Этап 3.8.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Этап 3.8.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Этап 3.8.4

Разделим каждый член $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Разделим каждый член $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Этап 3.8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Этап 3.8.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ .

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ .

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.3

Умножим $\frac{C}{1}$ на $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.4

Разделим $C$ на $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C = (1 + 0) \cdot 1$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$