Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Этап 1.2

Предположим, что $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Этап 1.3

Объединим $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ и $\sqrt{y^{2}}$ под одним знаком корня.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Этап 1.4

Разделим $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Этап 6.1.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Этап 6.1.1.1.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Этап 6.1.1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Этап 6.1.1.1.1.5

Перепишем $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Этап 6.1.1.1.1.5.2

Вынесем полную степень $V^{2}$ из $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.1.1.1.1.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Этап 6.1.1.1.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Этап 6.1.1.1.1.7

Объединим $\frac{1}{V}$ и $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Этап 6.1.1.1.2

Чтобы записать $V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Этап 6.1.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Этап 6.1.1.1.4

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Разобьем дробь $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ на две дроби.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $V^{2}$ и $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.2.2.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2.2.2

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2.2.3

Сократим общий множитель.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2.2.4

Перепишем это выражение.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2.2.2.5

Разделим $V$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.3

Объединим противоположные члены в $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Этап 6.1.1.2.3.2

Добавим $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Умножим $\sqrt{1 + V^{2}}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Умножим $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.2

Возведем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.3

Возведем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6

Перепишем ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ в виде $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в виде ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2.6.5

Упростим.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.3

Объединим.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Вынесем множитель $V$ из $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Этап 6.1.4.4.2

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Этап 6.1.4.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Этап 6.1.4.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Этап 6.1.4.5

Умножим $\sqrt{1 + V^{2}}$ на $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ на $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.7

Возведем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.8

Возведем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11

Перепишем ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ в виде $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + V^{2}}$ в виде ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.11.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.11.5

Упростим.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.12

Сократим общий множитель $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = 1 + V^{2}$ . Тогда $d u = 2 V d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = 1 + V^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Этап 6.2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 V$ .

$2 V$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 6.3.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Этап 6.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Этап 6.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 6.3.3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \ln (| x |) + C$ и $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Этап 6.3.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Этап 6.3.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Этап 6.3.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Возведем $\ln (| x |) + C$ в степень $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 8.3.2.1.2

Возведем $\ln (| x |) + C$ в степень $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Этап 8.3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Этап 8.3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Этап 8.3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Этап 8.3.2.1.7

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.7.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Этап 8.3.2.1.7.2

Изменим порядок $x \ln (| x |)$ и $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Этап 9.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 9.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Упростим $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Возведем $\ln (| x |) + C$ в степень $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Этап 9.3.2.1.2

Возведем $\ln (| x |) + C$ в степень $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Этап 9.3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Этап 9.3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Этап 9.3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

Этап 9.3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

Этап 9.3.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

Этап 9.3.2.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.8.1

Перенесем $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

Этап 9.3.2.1.8.2

Изменим порядок $- 1 x \ln (| x |)$ и $- C x$ .

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

Этап 9.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - C x - x \ln (| x |)$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$