Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = 6 x + 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$\frac{d}{d x} d y = (6 x + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} d y = \int 6 x + 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{d}{d x} y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Этап 2.2.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим $\frac{d}{d x}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d y}{d x} + C_{1}$ в виде $\frac{1}{d x} d y + C_{1}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 3 x^{2} + 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{d x} d y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{1}{d x} d y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{d x}$ и $d$ .

$\frac{d}{d x} y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Этап 3.1.2

Объединим $\frac{d}{d x}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x + K$

Этап 3.2

Умножим обе части на $d x$ .

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$d y = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $(3 x^{2} + 3 x + K) d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d y = 3 x^{2} d x + 3 x d x + K d x$

Этап 3.3.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 x d x + K d x$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перенесем $x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 d x x + K d x$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перенесем $3 d x x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$

Этап 3.4

Разделим каждый член $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ на $d$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ на $d$ .

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K}{d} + \frac{3 d x x}{d}$