Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{- 1} x^{- 3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{- 1}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y^{- 1}$ из $y^{- 1} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} (x^{- 3}))$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = x^{- 3}$

Этап 1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{- 1}} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{- 1}} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $y^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в числитель.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2}} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- 1 + 2 K x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.3.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}$

Этап 3.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$

Этап 3.4.5

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$