Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (- \frac{x + 6}{7 y^{2}})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - y^{2} \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $7 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = - \frac{x + 6}{7} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x + 6}{7} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int x + 6 d x)$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\int x d x + \int 6 d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 6 d x)$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 6 x + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{x^{2}}{2} + 6 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2 \cdot 7} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4

Умножим $- \frac{1}{7} (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.4.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - 6 (\frac{1}{7}) x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6}{7} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{- 6}{7}$ и $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6 x}{7} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{6 x}{7} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14}) + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $3 (- \frac{x^{2}}{14})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{2}}{14}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $3 (- \frac{6 x}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} - 3 \frac{6 x}{7} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{6 x}{7}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 3 (6 x)}{7} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $- \frac{18 x}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{18 x}{7}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{7 \cdot 2} + 3 K}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 18 x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $3 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K \cdot \frac{14}{14}}$

Этап 3.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим $3 K$ и $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + \frac{3 K \cdot 14}{14}}$

Этап 3.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (- x - 12)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Этап 3.4.7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K \cdot 14$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12) + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x) + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.4

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- (x \cdot x) - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + K \cdot 14)}{14}}$

Этап 3.4.7.6

Перенесем $14$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$

Этап 3.4.8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$

Этап 3.4.9

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Этап 3.4.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{\sqrt[3]{14} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Этап 3.4.10.2

Возведем $\sqrt[3]{14}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Этап 3.4.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.10.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{3}}$

Этап 3.4.10.5

Перепишем ${\sqrt[3]{14}}^{3}$ в виде $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{14}$ в виде $14^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{(14^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.10.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.10.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.10.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.10.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{1}}$

Этап 3.4.10.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14}$

Этап 3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{14}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{14^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{14^{2}}}{14}$

Этап 3.4.11.2

Возведем $14$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{196}}{14}$

Этап 3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K) \cdot 196}}{14}$

Этап 3.4.12.2

Умножим $196$ на $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{14}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + K)}}{14}$