Математический анализ Примеры

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (y + 1)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $y x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y x$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 1 = y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y + 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- (y + 1)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- (y + 1)$ вместо $M$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.3.3

Подставим $- (y + 1)$ вместо $M$ .

$- 1$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - 1 d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Этап 6.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (y + 1)$ на $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 7.5

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $y x - y$ на $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

Этап 7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.2

По правилу суммы производная $- y e^{- y} - e^{- y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y e^{- y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{- y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.10.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.14

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.15

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.16

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.18

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.19

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.3.21

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.3.3

Добавим $x (- e^{- y})$ и $x e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.3.1

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.3.3.2

Добавим $- 1 \cdot x e^{- y}$ и $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.3.4

Добавим $x y e^{- y}$ и $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 12.5.5

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $x y e^{- y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $y x e^{- y}$ и $- x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

Этап 13.1.2.2

Вычтем $e^{- y} x y$ из $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

Этап 13.1.2.3

Добавим $- y e^{- y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Этап 14

Найдем первообразную $- y e^{- y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Этап 14.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Этап 14.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Этап 14.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Этап 14.6.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Этап 14.7

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 14.7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 14.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 14.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 14.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 14.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Этап 14.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Этап 14.10

Перепишем $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ в виде $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Этап 14.11

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Этап 14.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 14.12.2

Умножим $- (- y e^{- y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 14.12.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Этап 14.12.3

Умножим $- - e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Этап 14.12.3.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 16

Упростим $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 16.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$