Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y^{4} + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{4} + 1$ .

$(y^{4} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \frac{x + 1}{y^{4} + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y^{4} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \frac{x + 1}{y^{4} + 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y^{4} + 1) \frac{d y}{d x} = x + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y^{4} + 1) d y = (x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{4} + 1 d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{4} d y + \int d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} + \int d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} + y + C_{2} = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{5} y^{5} + y + C_{3} = \int x + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{5} y^{5} + y + C_{3} = \int x d x + \int d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} y^{5} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{5} y^{5} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$