Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{x^{2}}{1 + x}$ и $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.2

Умножим $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$