Математический анализ Примеры

$d x - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Этап 2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \arctan (y) + C_{1} = - x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \arctan (y) = - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = - x + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = - x + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\arctan (y)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (y) = \frac{x}{1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\arctan (y) = x + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = x - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\arctan (y) = x - K$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (x - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \tan (x + K)$