Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{3 x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{3 x + 1}{x}$ и $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{3 x + \ln (x)}$ и $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.3

Чтобы записать $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ из $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ из $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ из $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ из $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.5.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.6

Умножим $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $e^{3 x + \ln (x)}$ и $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Этап 3.6.2

Умножим $e^{3 x + \ln (x)}$ на $e^{- 3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Этап 3.6.2.2

Объединим противоположные члены в $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Этап 3.6.2.2.2

Добавим $0$ и $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Этап 3.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Этап 3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Этап 3.9

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ на $e^{3 x + \ln (x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ на $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$