Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Этап 1.2

Изменим порядок членов.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 2

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 2.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Этап 6.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Этап 6.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Этап 6.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 6.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 6.7.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $2 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Этап 7.3.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Этап 7.3.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Этап 7.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Этап 7.3.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Этап 7.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Этап 7.3.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Этап 7.3.7

Изменим порядок множителей в $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$