Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + e^{x - y} = 0$

Этап 1

Пусть $v = e^{x - y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ для всех.

$\frac{d y}{d x} + v = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 + v = 0$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + v = - 1$

Этап 5.1.1.2

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 - v$

Этап 5.1.2

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 - v$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 - v$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- v}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- v}{- 1}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- v}{- 1}$

Этап 5.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + \frac{- v}{- 1}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + \frac{v}{1}$

Этап 5.1.2.3.1.3

Разделим $v$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + v$

Этап 5.1.3

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (1 + v) v$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (1 + v) v$

Этап 5.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = (1 + v) v$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Упростим $(1 + v) v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} = 1 v + v \cdot v$

Этап 5.1.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.2.1

Умножим $v$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = v + v \cdot v$

Этап 5.1.4.2.1.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v + v^{2}$

Этап 5.1.4.2.1.2.3

Изменим порядок $v$ и $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2} + v$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2} + v}$ .

$\frac{1}{v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2} + v} (v^{2} + v)$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $v^{2} + v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2} + v} (v^{2} + v)$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2} + v} d v = 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2} + v} d v = \int d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{2} + v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v^{1}}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $v$ из $v^{1}$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot 1}$

Этап 6.2.1.1.1.4

Вынесем множитель $v$ из $v \cdot v + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{v (v + 1)}$

Этап 6.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.5

Сократим общий множитель $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (v + 1)$ на $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 6.2.1.1.6.4.2

Разделим $B v$ на $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Этап 6.2.1.1.7

Перенесем $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Этап 6.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 6.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 6.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 6.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 6.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 6.2.1.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 6.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1$

Этап 6.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1$

Этап 6.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{v + 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.5

Пусть $u_{2} = v + 1$ . Тогда $d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Пусть $u_{2} = v + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Дифференцируем $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Этап 6.2.5.1.2

По правилу суммы производная $v + 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 6.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 6.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 6.2.7

Упростим.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

Этап 7.2

Изменим порядок $x$ и $C$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

Этап 7.3

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

Этап 7.4

Перепишем $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Этап 7.5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

Этап 7.5.2

Умножим обе части на $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Этап 7.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Сократим общий множитель $| u_{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Этап 7.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

Этап 7.5.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C + x} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

Этап 7.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

Этап 8

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

Этап 8.2

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

Этап 8.3

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

Этап 8.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C | u_{2} | e^{x}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{x - y})$ , вынося $x - y$ из логарифма.

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Этап 10.2.3

Умножим $x - y$ на $1$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Этап 10.3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $\ln (C | u_{2} | e^{x})$ в виде $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Этап 10.3.2

Перепишем $\ln (C | u_{2} |)$ в виде $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Этап 10.3.3

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

Этап 10.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

Этап 10.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

Этап 10.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

Этап 10.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

Этап 10.5.2

Объединим противоположные члены в $\ln (C | u_{2} |) + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Этап 10.5.2.2

Добавим $\ln (C | u_{2} |)$ и $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Этап 10.6

Разделим каждый член $- y = \ln (C | u_{2} |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Разделим каждый член $- y = \ln (C | u_{2} |)$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Этап 10.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ в виде $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$