Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{5}$ .

$v = y^{- 4}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{4}}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{4}}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{4}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $v^{\frac{1}{4}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11

Объединим $\frac{1}{4}$ и $v^{- \frac{3}{4}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12

Перенесем $v^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} v'}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14

Объединим $\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.16

Умножим $\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ на $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}} v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17

Умножим $v^{\frac{3}{4}}$ на $v^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Перенесем $v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 (v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{4}})}$

Этап 4.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 4.17.3

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 4.17.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 4.17.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

Этап 4.17.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2 + 3}{4}}}$

Этап 4.17.6

Добавим $2$ и $3$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{4}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$ .

$- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ умножим на $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ на $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $4 v^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $4 v^{\frac{5}{4}}$ из $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $v^{- \frac{1}{4}}$ на $v^{\frac{5}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.4.1

Перенесем $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{1}{4}}) (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5 - 1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.4.4

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{4}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.4.5

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.5

Упростим $- v^{1} (- 1 \cdot (4))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 4 = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.2.1.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 1 \cdot 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{1}{4} \cdot 5} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.3.2

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- 5 (\frac{1}{4})} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.3.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{- 5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.4

Умножим $v^{- \frac{5}{4}}$ на $v^{\frac{5}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Перенесем $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{5}{4}})$

Этап 6.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5}{4} - \frac{5}{4}}$

Этап 6.1.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5 - 5}{4}}$

Этап 6.1.3.4.4

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{0}{4}}$

Этап 6.1.3.4.5

Разделим $0$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{0}$

Этап 6.1.3.5

Упростим $- 4 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 4 d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{4 x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{4 x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + e^{4 x} (4 v) = e^{4 x} (- 4 x)$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = e^{4 x} (- 4 x)$

Этап 6.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 v e^{4 x} = - 4 x e^{4 x}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} v] = - 4 x e^{4 x}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} v] d x = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{4 x} v = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} v = - 4 \int x e^{4 x} d x$

Этап 6.7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 6.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 6.7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 6.7.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Этап 6.7.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Этап 6.7.5

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 6.7.5.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 6.7.5.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 6.7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Этап 6.7.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 6.7.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 6.7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 6.7.10

Перепишем $- 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $- 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 6.7.11

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 6.7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 6.7.12.1.2

Объединим $\frac{x}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 6.7.12.1.3

Объединим $e^{4 x}$ и $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 6.7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x} v = - 4 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 6.7.12.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$e^{4 x} v = 4 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 6.7.12.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{4 x} v = 4 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 6.7.12.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 6.7.12.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{4 x}}{16}$ в числитель.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Этап 6.7.12.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Этап 6.7.12.4.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Этап 6.7.12.4.4

Сократим общий множитель.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Этап 6.7.12.4.5

Перепишем это выражение.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - \frac{- e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} - - \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.5.2

Умножим $- - \frac{e^{4 x}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.5.2.2

Умножим $\frac{e^{4 x}}{4}$ на $1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.6

Чтобы записать $- x e^{4 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.7

Объединим $- x e^{4 x}$ и $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.9.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.9.1.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $- x e^{4 x} \cdot 4$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C$

Этап 6.7.12.9.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C$

Этап 6.7.12.9.1.3

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C$

Этап 6.7.12.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C$

Этап 6.7.12.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) + 1)}{4} + C$

Этап 6.7.12.11

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) - 1 (- 1))}{4} + C$

Этап 6.7.12.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x - 1))}{4} + C$

Этап 6.7.12.13

Перепишем $- (4 x - 1)$ в виде $- 1 (4 x - 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 1 (4 x - 1))}{4} + C$

Этап 6.7.12.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 6.7.13

Избавимся от скобок.

$e^{4 x} v = - \frac{1}{4} e^{4 x} (4 x - 1) + C$

Этап 6.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Объединим $e^{4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$

Этап 6.8.2

Разделим каждый член $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ на $e^{4 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Разделим каждый член $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ на $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{4 x}}{4}$ в числитель.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 (x)) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$v = \frac{- e^{4 x} x - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.3

Умножим $- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.3.2

Умножим $\frac{e^{4 x}}{4}$ на $1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.4

Объединим $- e^{4 x} x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.4.1

Перенесем $e^{4 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.4.2

Чтобы записать $- 1 x e^{4 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.4.3

Объединим $- 1 x e^{4 x}$ и $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.5.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.5.1.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $- 1 x e^{4 x} \cdot 4$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.5.1.2

Умножим на $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.5.1.3

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.2.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.3

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.4.1

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x) + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.5.3

Умножим $e^{4 x}$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.5.4

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 e^{4 x} x$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{4 x}$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x})$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $4 C$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.6.6.1

Перепишем $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ в виде $- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = \frac{- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.6.6.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = \frac{- \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Этап 6.8.2.3.8

Умножим $\frac{1}{e^{4 x}}$ на $\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{e^{4 x} \cdot 4}$

Этап 6.8.2.3.9

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

Этап 7

Подставим $y^{- 4}$ вместо $v$ .

$y^{- 4} = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$