Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.10

Объединим $5$ и $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1.1

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.4

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.2

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.3

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.4

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.3.6

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.5

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 - 5 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.5.2

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \sin (x)$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.5.3

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ .

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.6

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ и ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Вынесем множитель $1 + \sin (x)$ из $- 5 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.11.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.2.1

Вынесем множитель $1 + \sin (x)$ из ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 3.11.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 3.11.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

Этап 3.11.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$