Математический анализ Примеры

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ в виде $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ .

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.2

Развернем $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Этап 1.3.1.6.2

Умножим $\frac{1}{p^{2}}$ на $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Этап 1.3.1.6.3

Умножим $\frac{1}{p^{2}}$ на $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Этап 1.3.1.6.4

Умножим $p^{2}$ на $p^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Этап 1.3.1.6.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 1.3.2

Вычтем $\frac{2}{p^{2}}$ из $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $p$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $p$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 6.2

Вынесем $p^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(p^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 7

По правилу степени интеграл $p^{- 2}$ по $p$ имеет вид $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $p^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(p^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Этап 8.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Этап 9

По правилу степени интеграл $p^{- 4}$ по $p$ имеет вид $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Этап 10

Упростим.

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$