Математический анализ Примеры

$y = x^{\ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = \ln (x)$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $x^{\ln (x)}$ и $\frac{1}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Этап 3.4.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $x^{\ln (x)}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $\ln (x) x^{\ln (x)}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4.3.2.5

Разделим $\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ на $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Этап 3.7

Добавим $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ и $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Изменим порядок $\ln (x)$ и $x^{\ln (x) - 1}$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Этап 3.7.2

Добавим $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ и $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ на $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ на $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ .

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{\ln (x) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ .

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$