Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Этап 2

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{1 + u_{1}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 4.3

Перенесем $3$ влево от $1 + u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 6.3

Умножим $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $1 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 7.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 7.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Этап 9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Этап 9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$