Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{6} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{6}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 6

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 7

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{6}$ и $5$ .

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Этап 11

Разделим $- 3 x^{5} + 4$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 11.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Этап 11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{5} + 0$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Этап 11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Этап 11.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 11.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 13

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 14

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 16

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 17

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 18

Упростим.

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Этап 19

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Этап 20

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Этап 21

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$