Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 6.2.2

Перенесем ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 6.3

По правилу суммы производная $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 6.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 6.5

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 6.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Этап 8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0)$

Этап 8.6.2

Добавим $- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3})$

Этап 9.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 9.3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$

Этап 9.4

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Чтобы записать $\frac{2}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x - 1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.4

Применим правило умножения к $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 9.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 9.5.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 9.5.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Этап 9.5.5.2

Упростим.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Этап 9.6

Объединим $2$ и $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Этап 9.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) (1 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 9.8

Умножим $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.9

Умножим $- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ на $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Чтобы записать $- \frac{2}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.1

Умножим $\frac{2}{x^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x^{1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2 + 1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 2 x + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2 (1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.11

Объединим $\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.12

Сократим выражение $\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Вынесем множитель $x$ из $2 (- x + 1) x$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.12.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.12.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.12.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.14

Объединим.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.15

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.16

Перепишем это выражение.

$\frac{(- x + 1) \cdot 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.17

Умножим $- x + 1$ на $1$ .

$\frac{- x + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.18

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.19

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.20

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.21

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 9.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$