Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x+3}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 3}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим выражение.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Объединим ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\displaystyle 3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}}$, умножив на подходящий множитель ${\displaystyle 1}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ на ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle 2x^1}$.

Умножим ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ на ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(x+3)}^1}$.

Добавим ${\displaystyle 2x}$ и ${\displaystyle x}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 3}$ из ${\displaystyle 3x}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 3}$ из ${\displaystyle 3}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 3}$ из ${\displaystyle 3\left(x\right)+3\left(1\right)}$.

Сократим общие множители.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Продифференцируем.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.