Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x e^{3 x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x e^{3 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.5

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Этап 1.1.5.3

Изменим порядок членов.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

Этап 1.1.5.4

Изменим порядок множителей в $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x e^{3 x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.2

$12 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$12 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$12 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$12 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$12 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.2.9

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{3 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 1.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Этап 1.2.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \cdot 3)$

Этап 1.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (3 \cdot e^{3 x})$

Этап 1.2.3.7

Умножим $3$ на $4$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 e^{3 x}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x (3 e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Этап 1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $3$ на $12$ .

$36 (x (e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $12 e^{3 x}$ и $12 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$

Этап 1.2.4.4

Изменим порядок множителей в $36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 e^{3 x}$ из $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 e^{3 x}$ из $36 x e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 24 e^{3 x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 e^{3 x}$ из $24 e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 e^{3 x}$ из $12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2)$ .

$12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{3 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{3 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 4 x e^{3 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 4 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $4 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 4 (\frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 3.1.2.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 3.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Этап 3.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Этап 3.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{- 2}$

Этап 3.1.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Этап 3.1.2.5

Умножим $\frac{1}{e^{2}}$ на $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{e^{2} \cdot 3}$

Этап 3.1.2.6

Перенесем $3$ влево от $e^{2}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3 e^{2}}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{8}{3 e^{2}}$ .

$- \frac{8}{3 e^{2}}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 4 x e^{3 x}$ , найдем точку $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 (- 0.7\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $36$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{- 2.2\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.4

Объединим $- 27.6$ и $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = \frac{- 27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{{2.71828182}^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $2.2\overline{9}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{9.97418245} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.8

Разделим $27.6$ на $9.97418245$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 1 \cdot 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.9

Умножим $- 1$ на $2.76714408$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Этап 5.2.1.10

Умножим $3$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{- 2.2\overline{9}}$

Этап 5.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 (\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}})$

Этап 5.2.1.12

Объединим $24$ и $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + \frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$

Этап 5.2.2

Добавим $- 2.76714408$ и $\frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 0.36093183$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.36093183$ .

$- 0.36093183$

Этап 5.3

При $- 0.7\overline{6}$ вторая производная имеет вид $- 0.36093183$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{2}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 (- 0.5\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $36$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{- 1.6\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot \frac{1}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.4

Объединим $- 20.4$ и $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = \frac{- 20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{{2.71828182}^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $1.6\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{5.47394739} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.8

Разделим $20.4$ на $5.47394739$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 1 \cdot 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $- 1$ на $3.72674389$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $3$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{- 1.6\overline{9}}$

Этап 6.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 (\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}})$

Этап 6.2.1.12

Объединим $24$ и $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + \frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 3.72674389$ и $\frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 0.65766068$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.65766068$ .

$0.65766068$

Этап 6.3

При $- 0.5\overline{6}$ вторая производная имеет вид $0.65766068$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{2}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Этап 8