Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{4 + {(x - 3)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{4 + u^{2}} d u$

Этап 2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + u^{2}} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{u}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{u}{2}) + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{u}{2})}{2} + C$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{u}{2})}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} u) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} u) + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} (x - 3)) + C$