Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Этап 1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Этап 3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $n$ на $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Этап 3.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Этап 3.2

Развернем $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.2

Умножим $n^{2}$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $n$ на $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.3

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Этап 3.3.1.6

Умножим $n$ на $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Этап 3.3.2

Добавим $n^{2}$ и $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$