Математический анализ Примеры

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

Этап 2

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

Этап 2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

Этап 2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

Этап 2.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Этап 3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Этап 11

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Этап 12

Объединим $\csc (x)$ и $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Этап 13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Этап 13.2.2

Объединим $6$ и $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Этап 13.2.3

Умножим $7$ на $6$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Этап 13.2.4

Вынесем множитель $2$ из $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Этап 13.2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Этап 13.2.5.2

Сократим общий множитель.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 13.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Этап 13.2.5.4

Разделим $21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$