Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 3.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $u$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 9.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 9.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 9.3.6

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Этап 9.3.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 9.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 1}{3}$

Этап 9.3.9

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$