Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 \cos^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2^{1}}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{2}{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 1.1.3.5.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Этап 1.1.3.5.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 \cos^{2} (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.5

Добавим $- 4 \cos (x) \sin (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 1.3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 1.3.8.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) \sin (x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Этап 2.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

Этап 4.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.2.5

Перепишем $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.2.5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 4 \frac{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 4 \frac{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 \frac{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 \frac{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 \frac{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 \frac{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{\frac{2^{1}}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.5

Найдем экспоненту.

$- 4 \frac{\frac{2}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 4 \frac{\frac{2 (1)}{4}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 4 \frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- \sqrt{2}})$

Этап 4.9

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}})$

Этап 4.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}}))$

Этап 4.10

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})))$

Этап 4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

Этап 4.11.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}))$

Этап 4.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}))$

Этап 4.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}))$

Этап 4.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

Этап 4.11.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}))$

Этап 4.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))$

Этап 4.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Этап 4.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Этап 4.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}))$

Этап 4.11.6.5

Найдем экспоненту.

$- 4 (\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}))$

Этап 4.12

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 4.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 4.13

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ в числитель.

$- 4 \frac{- \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.13.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.13.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.13.4

Перепишем это выражение.

$- - \sqrt{2}$

Этап 4.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Этап 4.15

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2}$

Десятичная форма:

$1.41421356 \dots$