Математический анализ Примеры

$y = \ln (3 x^{2} + 3 x + 6)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 3 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 1.2.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + 0)$

Этап 1.2.9

Добавим $6 x + 3$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 6}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 6}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 2}$

Этап 1.3.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2}$

Этап 1.3.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.3

Умножим $6 x + 3$ на $\frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$ .

$\frac{6 x + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $6 x + 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Этап 1.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = x^{2} + x + 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.2.11

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $2 x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $2 x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 2 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.2

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - ((2 x + 1) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.3

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.4.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 4 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.1.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.3

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.2.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.6

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.8

Перепишем $- (2 x^{2} + 2 x - 3)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Этап 2.7.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$