Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\sqrt{4 x + 3}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 3}$ в виде ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}]$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Этап 4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g (x) = 4 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x + 3$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 10.3

Перенесем ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 11

По правилу суммы производная $4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 12

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 14

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 15

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + 0)$

Этап 16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 4$

Этап 16.2

Объединим $\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$ и $4$ .

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 16.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 16.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$