Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (2 x - 3 \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} 2 x - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$2 \frac{16 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$2 (\frac{15}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.8

Объединим $2$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.9

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{30}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.13.1

Сократим общий множитель.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.13.2

Перепишем это выражение.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.15

Умножим $2$ на $8$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Этап 9.2.3.17

Умножим $2$ на $1$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 9.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 - 3 \frac{16 - 2}{3}$

Этап 9.2.3.19

Вычтем $2$ из $16$ .

$15 - 3 (\frac{14}{3})$

Этап 9.2.3.20

Объединим $- 3$ и $\frac{14}{3}$ .

$15 + \frac{- 3 \cdot 14}{3}$

Этап 9.2.3.21

Умножим $- 3$ на $14$ .

$15 + \frac{- 42}{3}$

Этап 9.2.3.22

Сократим общий множитель $- 42$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.22.1

Вынесем множитель $3$ из $- 42$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3}$

Этап 9.2.3.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 (1)}$

Этап 9.2.3.22.2.2

Сократим общий множитель.

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.22.2.3

Перепишем это выражение.

$15 + \frac{- 14}{1}$

Этап 9.2.3.22.2.4

Разделим $- 14$ на $1$ .

$15 - 14$

Этап 9.2.3.23

Вычтем $14$ из $15$ .

$1$

Этап 10