Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$ в виде ${(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - c x$ и $g (x) = 1 + c x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [1 - c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $1 - c x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (0 + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [- c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.4

Поскольку $- c$ является константой относительно $x$ , производная $- c x$ по $x$ равна $- c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \frac{d}{d x} [x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \cdot 1) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.7

По правилу суммы производная $1 + c x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (0 + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.10

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c x$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \cdot 1)}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$

Этап 9.12.2

Умножим $\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.12.3

Перенесем $2$ влево от ${(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 \cdot {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 + c x}{1 - c x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{1 + c x}{1 - c x}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) + (- 1 \cdot 1 - (- c x)) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.2

Перепишем $- 1 c$ в виде $- c$ .

$\frac{- c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.3

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.4

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c^{1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- c + c^{1 + 1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- c + c^{2} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.7

Перенесем $- 1$ влево от $c^{2} x$ .

$\frac{- c - 1 \cdot (c^{2} x) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.8

Перепишем $- 1 c^{2}$ в виде $- c^{2}$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.10

Перепишем $- 1 c$ в виде $- c$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + 1 (c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.12

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c x c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.13

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.14

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c^{1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1 + 1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.17

Вычтем $c$ из $- c$ .

$\frac{- 2 c - c^{2} x + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.18

Добавим $- c^{2} x$ и $c^{2} x$ .

$\frac{- 2 c + 0}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.19

Добавим $- 2 c$ и $0$ .

$\frac{- 2 c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.20

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.20.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 c$ .

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- c)}{2 ({(1 + c x)}^{2})} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.22

Умножим $\frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{c}{{(1 + c x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}} c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2}}$

Этап 10.6.23

Перенесем ${(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10.6.24

Умножим ${(1 + c x)}^{2}$ на ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.24.1

Перенесем ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2})}$

Этап 10.6.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Этап 10.6.24.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 10.6.24.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.6.24.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.6.24.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.24.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Этап 10.6.24.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{3}{2}}}$