Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $h$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Этап 1.2

Объединим $h$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + h \cdot 2) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.7

Найдем предел $\cos (\frac{π}{2})$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + 2 \cdot h}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \cos (h)$ и $g (h) = \frac{π + 2 h}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π + 2 h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $h$ , производная $\frac{π + 2 h}{2}$ по $h$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.4

По правилу суммы производная $π + 2 h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.5

Поскольку $π$ является константой относительно $h$ , производная $π$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.6

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 h$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.8

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.9

Добавим $0$ и $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 2) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.11.1

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.11.2

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.2

Поскольку $0$ является константой относительно $h$ , производная $0$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Добавим $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{1}$

Этап 2.4

Разделим $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \sin (lim_{h \to 0} \frac{π + 2 h}{2})$

Этап 3.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + 2 h)$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Этап 3.5

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Этап 3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h))$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Этап 5.2

Добавим $π$ и $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} π)$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 5.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$