Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = - \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $x^{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.1.3.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2}$

Этап 2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Этап 4

Найдем значение $e^{u}$ в $- \frac{1}{t}$ и в $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Этап 5.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Этап 5.1.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Этап 5.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t}$ стремится к $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем предел $e^{- 1}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$0.63212055 \dots$