Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

Этап 1.1.3.5.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\cos (x) - \cos (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (5 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.7

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.12

Умножим $\tan (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

Этап 1.3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} - \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 2.1.3.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 2.1.3.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.10.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Этап 2.1.3.10.1.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.11

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $- \sin (x) + 5 \sin (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (5 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.5

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.4.7

Умножим $5$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \sec^{2} (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.8

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.9

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.10

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.11

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.12

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.14

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.6.15

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.7.1.2

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.7.1.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Этап 2.3.7.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Этап 2.3.7.5

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 (x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.2.2

Добавим $2 \sec^{2} (2 x)$ и $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.1

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.4

Умножим $8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.4.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.4.2

Объединим $x$ и $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.5

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.6

Выразим $\tan (2 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.7

Объединим.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.8

Умножим $\cos^{2} (2 x)$ на $\cos (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.8.1

Умножим $\cos^{2} (2 x)$ на $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.8.1.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.8.4.9

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Этап 2.3.8.4.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.3.8.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.3.8.4.12

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Этап 2.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos^{3} (2 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ на $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

Этап 2.4.2.2

Умножим $\cos^{2} (2 x)$ на $\cos (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Умножим $\cos^{2} (2 x)$ на $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.4

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.9

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.13

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.15

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Этап 3.16

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

Этап 3.17

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Этап 3.18

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot 0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cdot 1}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.1.8

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (0)}}$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1^{3}}}$

Этап 5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3.3

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (0)}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cdot 1}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3.5

Умножим $25$ на $1$ .

$\frac{- 1 + 25}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.3.6

Добавим $- 1$ и $25$ .

$\frac{24}{\frac{4}{1}}$

Этап 5.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{24}{4}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1}$

Этап 5.5.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6$