Математический анализ Примеры

$y = x^{x^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{x^{x}}$ в виде $e^{\ln (x^{x^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{x}})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{x^{x}})$ , вынося $x^{x}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{x} \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{x} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{x} \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $x^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $x^{x}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x - 1}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.5.2.2.5

Разделим $x^{x - 1}$ на $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Этап 3.6

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}])$

Этап 3.6.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}])$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Этап 3.8

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.10.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.10.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)))$

Этап 3.10.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))))$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x \ln (x)}) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.4.2

Умножим $e^{x^{x} \ln (x)}$ на $e^{x \ln (x)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.2.1

Перенесем $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Этап 3.11.4.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)})$

Этап 3.11.4.4

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)})$

Этап 3.11.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} ({\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)})$

Этап 3.11.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{2} (x) e^{x \ln (x)})$

Этап 3.11.4.7

Умножим $e^{x^{x} \ln (x)}$ на $e^{x \ln (x)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.7.1

Перенесем $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Этап 3.11.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$