Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} (1 + 3 x - x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{4} 1 + 3 x - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $x$ в $4$ и в $0$ .

$(4) + 0 + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 9.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Добавим $4$ и $0$ .

$4 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 + 3 (8 - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 + 3 (8 - 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 + 3 (8 + 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.7

Добавим $8$ и $0$ .

$4 + 3 \cdot 8 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.8

Умножим $3$ на $8$ .

$4 + 24 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.9

Добавим $4$ и $24$ .

$28 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.10

Возведем $4$ в степень $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 9.2.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 9.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$28 - (\frac{64}{3} - 0)$

Этап 9.2.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} + 0)$

Этап 9.2.4.14

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$28 - \frac{64}{3}$

Этап 9.2.4.15

Чтобы записать $28$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

Этап 9.2.4.16

Объединим $28$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

Этап 9.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 \cdot 3 - 64}{3}$

Этап 9.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.18.1

Умножим $28$ на $3$ .

$\frac{84 - 64}{3}$

Этап 9.2.4.18.2

Вычтем $64$ из $84$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$6.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{2}{3}$

Этап 11