Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x^{3} {(x^{4} + 2 x^{3})}^{- 1}$

Этап 1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \frac{1}{x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 1.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x^{4} + 2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 2.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 2 \cdot 0^{3}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0^{3}}$

Этап 2.1.3.6.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} + 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 2.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 (3 x^{2})}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2}}$

Этап 4.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{2}}$

Этап 4.1.3.7.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{2}}$

Этап 4.1.3.7.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.7.1.4

Умножим $6$ на $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 4.1.3.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Этап 4.3.3

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.3

Умножим $3$ на $4$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Этап 4.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 4.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 6 \cdot 2 x}$

Этап 4.3.5.3

Умножим $2$ на $6$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 12 x}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{12 x^{2} + 12 x}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 12 x}$

Этап 6.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 12 x}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Этап 6.1.3.4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}$

Этап 6.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}$

Этап 6.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}$

Этап 6.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0 + 12 \cdot 0}$

Этап 6.1.3.6.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0 + 12 \cdot 0}$

Этап 6.1.3.6.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 6.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 6.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 6.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 6.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{12 x^{2} + 12 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Этап 6.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Этап 6.3.3

По правилу суммы производная $12 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Этап 6.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Этап 6.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Этап 6.3.4.3

Умножим $2$ на $12$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Этап 6.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12 \cdot 1}$

Этап 6.3.5.3

Умножим $12$ на $1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 24 x + 12}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 24 x + 12}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 24 x + lim_{x \to 0} 12}$

Этап 7.4

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 12}$

Этап 7.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 lim_{x \to 0} x + 12}$

Этап 8

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 \cdot 0 + 12}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \frac{1}{24 \cdot 0 + 12}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $24$ на $0$ .

$6 \frac{1}{0 + 12}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $12$ .

$6 (\frac{1}{12})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 \frac{1}{6 (2)}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$6 \frac{1}{6 \cdot 2}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$