Математический анализ Примеры

$h (x) = (x^{2} - 3) (x^{3} - 2 x)$ , $(- 2, - 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = - 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 3$ и $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.2.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.2.8

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + 0)$

Этап 1.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x)$

Этап 1.2.9.2

Перенесем $2$ влево от $x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 \cdot (x^{3} - 2 x) x$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (2 x^{3} + 2 (- 2 x)) x$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$3 \cdot x^{4} - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.4

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.5

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.9

Добавим $1$ и $3$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 2 x) x$

Этап 1.3.6.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x \cdot x$

Этап 1.3.6.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x)$

Этап 1.3.6.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x^{1})$

Этап 1.3.6.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{1 + 1}$

Этап 1.3.6.14

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{2}$

Этап 1.3.6.15

Добавим $3 x^{4}$ и $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 11 x^{2} + 6 - 4 x^{2}$

Этап 1.3.6.16

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 11 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = - 2$ .

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Этап 1.5.1.2

Умножим $5$ на $16$ .

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Этап 1.5.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 15$ на $4$ .

$80 - 60 + 6$

Этап 1.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $60$ из $80$ .

$20 + 6$

Этап 1.5.2.2

Добавим $20$ и $6$ .

$26$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $26$ и координаты заданной точки $(- 2, - 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $26 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $26$ на $2$ .

$y + 4 = 26 x + 52$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = 26 x + 52 - 4$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $4$ из $52$ .

$y = 26 x + 48$

Этап 3