Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Этап 2.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{upper} = t - 3$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ в $t - 3$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Этап 6.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Этап 6.1.3

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Этап 6.1.3.2

Перепишем ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{t - 3}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Этап 6.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ стремится к $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Этап 6.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

Этап 6.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 2$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$